Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

In der letzten Vorlesung haben wir ja schon die Definition für die stetigen Funktionen

gesehen und das sind ja die harmlosen Funktionen, die sie so zeichnen können,

ohne den Stift abzusetzen. Also da treten keine Sprünge auf, aber die können schon

ein recht wildes Verhalten auch zeigen. Hier ist zum Beispiel die Funktion Sinus

1 durch x geplottet für x ungleich 0 und sie sehen, je größer das x wird, desto

weniger wild ist die. Aber wenn sie sich mal hier von der 1 ausgehend der 0 nähern,

dann sehen sie, die schwankt immer schneller zwischen der Minus 1 und der 1,

sodass man hier aufgrund der Strichdicke gar nicht mehr die einzelnen Oszillationen

erkennen kann. Also die oszilliert hier unendlich oft auf jedem noch so kleinen

Teilintervall von 0 bis Epsilon. Das Epsilon kann beliebig klein werden und

trotzdem findet man unendlich viele Oszillationen. Und für x größer 0 ist

diese Funktion auch stetig. Man kann also lokal immer diesen Grafen nachfolgen in

so einer Kurve. Also wenn man das vergrößert, dann sieht es immer genauso

aus wie dieses Teilstück bis zur 1. Also durch die Vergrößerung kann man dann

einige Oszillationen erkennen, aber so näher zur 0 hin wird eben diese

Frequenz immer höher und höher und dadurch die Abstände zwischen diesen

extremer Minus 1 und 1, zwischen den Extremalpunkten immer kleiner. Und solche

wilden Schwankungen werden auch durch stetige Funktionen beschrieben. Also da

hat man schon eine große Klasse von Funktionen.

Die Definition einer stetigen Funktion haben wir ja in der letzten Vorlesung

schon gesehen. Das ist diese Epsilon Delta Definition. Also wenn Sie eine

Genauigkeit für die Funktionswerte vorgeben, also wie nah die an f von x 0

sein sollen, dann kann man dazu einen Delta finden für die Argumente. Und wenn

die Argumente höchstens um das Delta schwanken, weiß man die Funktionswerte

können dann nur um das Epsilon schwanken. Das haben wir in der letzten Vorlesung

schon gesehen. Und ja zur Wiederholung auch diskutieren wir mal, was es heißt,

wenn eine Funktion nicht stetig ist in einem Punkt x 0. Also Bemerkung.

Erstens, wenn die Funktion f nicht stetig in einem Punkt x 0 im

Definitionsbereich D ist, dann gibt es zunächst ein Wort dafür, dann nennt man

die Funktion unstetig in dem Punkt x 0. Also so heißt die Funktion f unstetig in x 0.

Und was heißt jetzt diese Unstetigkeit? Dann kann man sich diesem Punkt x 0 auf

der x-Achse durch eine Folge in solch einer Art nähern, dass die entsprechenden

Funktionswerte nicht gegen f von x 0 konvergieren.

Also dann gibt es eine Folge, nennen wir sie x n, n Element n mit x n Element d.

Diese Punkte x n liegen alle im Definitionsbereich und konvergieren gegen x 0.

Also hier kommen die Folgen reeller Zahlen wieder ins Spiel, über die wir in dem letzten

Abschnitt gesprochen haben. Und hier wird jetzt zu dieser Argumentenfolge auf der x-Achse die

Bildfolge betrachtet. Die Folge der Funktionswerte, die Bildfolge, also die f von x n, die Funktionswerte

divergent ist oder konvergent gegen einen anderen Wert als f von x 0. Divergent oder

konvergent gegen einen Grenzwert c ungleich f von x 0 ist.

Also wie sieht das Bild dazu aus? Wir haben hier die x-Achse, da liegt unser Punkt x 0

und die x n, die konvergieren eben gegen das x 0, also die werden dann dichter. Das sind

die x ns und dazu gehören jetzt Funktionswerte. Also hier haben wir so eine zweite Achse mit

den Funktionswerten. Zu dem Punkt x 0 gehört ja ein Funktionswert f von x 0 und wenn die

Funktion jetzt stetig wäre, hieße das die Folge der Funktionswerte f von x n konvergiert

auch gegen f von x 0 für eine beliebige solche Folge x n, die gegen x 0 konvergent ist. Aber

hier haben wir es gerade mit den unstetigen Funktionen zu tun und da gibt es verschiedene

Möglichkeiten. Also diese Folge der Funktionswerte kann divergent sein, gegen unendlich konvergieren

oder auch gegen einen anderen Grenzwert konvergieren, also zum Beispiel gegen diesen Wert c und das